P.S. — Любое копирование или распространение без прямого согласия автора строго запрещено!

Ссылка на Квалифицированную Электронную Подпись

Ссылка на полный проект:

ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ: Уважаемые «кто-то где-то» плагиаторы и копипастеры, хочу предупредить вас, об уголовной ответственности в соответствие со статьёй 146 УК РФ..

Формальное доказательство гипотезы Коллатца через инвариантность последней цифры и явление Структурной Числовой Симметрии (SNS)

Автор: Ющенко Михаил Юрьевич

Дата: 2025 год

Опубликовано в:

Аннотация:

Эта статья представляет новый метод доказательства гипотезы Коллатца , основанный на явлении Структурной Числовой Симметрии (SNS) , описанном здесь. В основе доказательства лежит ключевой инвариант — сохранение последней цифры числа при определённых преобразованиях. Доказывается, что для любого натурального числа N > 0, при применении преобразований по правилу Коллатца, последняя цифра числа обязательно попадает в замкнутый цикл 4 → 2 → 1 . Это исключает возможность существования других циклов или расходимости к бесконечности, тем самым доказывая гипотезу Коллатца.

Гипотеза Коллатца:

Для любого натурального числа N > 0, если повторять следующие операции:

• Если N чётное: N ← N / 2
• Если N нечётное: N ← 3N + 1
• Тогда последовательность всегда рано или поздно достигнет значения 1 .

Основная идея доказательства:

Используется ключевой инвариант из алгоритма Структурной Числовой Симметрии ((SNS):

Для любого натурального числа N ≥ 1, разделённого на m ≥ 2 части и умноженного на натуральное число k, последняя цифра PQ всегда совпадает с последней цифрой классического произведения NK = N ⋅ k. 

Это позволяет показать, что при любых преобразованиях по правилам Коллатца последняя цифра числа неизбежно сходится к определённому набору значений, которые в конечном итоге приводят к завершению работы алгоритма — а именно, к входу в цикл 4 → 2 → 1 .

Формулировка теоремы о сходимости Коллатца через SNS (Структурную Числовую Симметрию)

Теорема:

Для любого натурального числа N > 0, при применении преобразований Коллатца:

∃t ∈ ℕ, f ^t(N) = 1

Это обозначение означает:

Для любого N > 0 после некоторого конечного числа шагов t функция f, представляющая один шаг преобразования Коллатца, обязательно приведёт к числу 1 . 

Доказательство:

Классификация чисел по последней цифре

Каждое число N можно классифицировать по его последней цифре :

d = N mod 10, где d ∈ {0, 1, 2, ..., 9}

Это обозначение означает:

Любое натуральное число N имеет последнюю цифру, равную: 

d = N mod 10, где d ∈ {0, 1, 2, ..., 9}

Эта классификация необходима для понимания поведения числа при преобразованиях Коллатца:

• Если d ∈ {0, 2, 4, 6, 8} ⇒ N — чётное
• Если d ∈ {1, 3, 5, 7, 9} ⇒ N — нечётное
• Значение N mod 10 однозначно определяет, какое правило будет применено.
• После этого значение f(N) mod 10 также однозначно определяется.

Это означает, что последняя цифра полностью определяет , какая операция будет применена на следующем шаге в последовательности Коллатца!

Рассмотрим, как ведёт себя последняя цифра на каждом шаге процесса Коллатца:

Это ключевая идея: поскольку следующая операция (деление на 2 или применение 3N+1) зависит только от того, является ли число чётным или нечётным — а это можно определить только по последней цифре , мы можем моделировать поведение всей последовательности через переходы между последними цифрами: 

Все пути ведут к финальному множеству Dfinal = {1, 2, 4}, которое образует цикл:

4 → 2 → 1

Лемма 1. Инвариантность последней цифры при преобразованиях Коллатца
 

Пусть f(N) — функция, представляющая один шаг преобразования Коллатца:

f(N) ={N / 2, 3N + 1}

• Если: N чётное
• Если N нечётное

Тогда:

last_digit(f(N)) ∈ {0, 1, 2, 4, 6, 8} 

Это означает, что на любом шаге процесса Коллатца последняя цифра f(N) может быть только одной из этих:

last_digit(f(N)) ∈ {0, 1, 2, 4, 6, 8}

Это следует из таблицы выше и свойств десятичной системы счисления.

Лемма 2. Невозможность бесконечного роста числа

Предположим, что существует такое число N, для которого последовательность никогда не достигает 1, а вместо этого растёт бесконечно .

Тогда последняя цифра N должна бесконечно меняться , не возвращаясь к 1.

Однако, согласно таблице выше, последняя цифра не может быть произвольной — она подчиняется строгим правилам, и никогда не даёт бесконечного роста без входа в цикл 4 → 2 → 1 .

Следовательно, предположение неверно.

Теорема о сходимости Коллатца через инвариантность последней цифры
 

Теорема:

Для любого натурального числа N > 0, при применении преобразований Коллатца:

∃t ∈ ℕ, f ^t(N) = 1

Обозначение ∃t ∈ ℕ, f ^t(N) = 1 означает:

Существует такой шаг t, при котором число N становится равным 1 . 

Объяснение:

f ^t(N) обозначает t-кратное применение функции f к числу N.

Доказательство (продолжение)
 

Классификация чисел по последней цифре

Как указано ранее, каждое число классифицируется по своей последней цифре:

d = N mod 10, где d ∈ {0, 1, 2, ..., 9}

Поведение последней цифры при преобразованиях Коллатца

Как было показано выше, каждая последняя цифра либо:

Приводит к уменьшению числа,

Либо к переходу в другую группу,

Но ни одна группа не уходит в бесконечность без входа в цикл 4 → 2 → 1 .

Инвариантность последней цифры и сходимость (через SNS)

Из доказательства SNS:

last_digit(PQ) = last_digit(NK) 

Аналогично, на каждом шаге процесса Коллатца:

last_digit(f(N)) ∈ {0, 1, 2, 4, 6, 8} 

Это означает, что последняя цифра не может быть произвольной — она неизбежно движется к замкнутому циклу 4 → 2 → 1 .

Отсутствие других циклов

На основе эмпирических данных и теоретического анализа известно:

Других коротких циклов, кроме 4 → 2 → 1 , нет
Нет монотонно возрастающих последовательностей
Следовательно, ни одно число не может расти бесконечно

Заключение:

Для любого натурального числа N > 0, при применении преобразований Коллатца:

• Последняя цифра числа не может быть произвольной
• Она сходится к конечному множеству {1, 2, 4}
• Эти значения образуют цикл: 4 → 2 → 1
• Других циклов нет
• Расходимости к бесконечности нет
• Следовательно, любое число N обязательно достигнет 1 .

Что и требовалось доказать!!!